Las ecuaciones estructuradas por edad han sido ampliamente estudiadas y aplicadas en diferentes ámbitos como la biología, demografía y ecología. Estos sistemas consisten en ecuaciones integro-diferenciales los cuales son interesantes del punto de vista matemático y del modelamiento. En este mini curso abordaremos diferentes ejemplos de ecuaciones estructuradas por edad y las diferentes técnicas para estudiar el comportamiento asintótico tales como el método de entropía, la teoría de Doeblin y la transformada de Laplace. Además aplicaremos estas técnicas para el estudio de un modelo no lineal aplicado a la neurociencia, llamado la ecuación elapsed-time donde las neuronas son descritas por el tiempo transcurrido después de una descarga.

Este minicurso se realizará en la Sala de Seminario Felipe Álvarez del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile y constará de las siguientes sesiones :

1. Lunes 21 de Octubre 14:30-16:00: «Introducción a las ecuaciones estructuradas».
   En esta sesión revisaremos los principales modelos de ecuaciones estructuradas como el modelo SIR, la Ecuación de Kermack-McKendrick, Growth-Fragmentation y ecuaciones con retardo. Luego nos enfocamos en la teoría de existencia y regularidad del problema lineal para la ecuación de renovación estructurada por edad.
2. Viernes 25 de Octubre 10:15-11:45: «Comportamiento asintótico para ecuaciones estructuradas por edad».
   En este segunda sesión estudiaremos los equilibrios de la ecuación de la ecuación de renovación y la convergencia exponencial al equilibrio a través de diferentes técnicas: El método de entropía en combinación con la desigualdad de Poincaré y la teoría Doeblin para el caso conservativo utilizando la teoría de semigrupos de Markov.
3. Lunes 11 de Noviembre 14:30-16:00: «Comportamiento asintótico a través de ecuaciones de tipo Volterra».
   Continuaremos estudiando el comportamiento asintótico reduciendo el sistema estructurado por edad, reduciendo la dinámica del sistema a una ecuación integral y aplicando la transformada de Laplace para caracterizar de forma más precisa la evolución de la ecuación de renovación.
4. Miércoles 13 de Octubre 12:00-13:30: «Ecuaciones estructuradas para la dinámica neuronal».
   En esta sección nos enfocaremos en los modelos aplicados a la neurociencia. Comenzaremos revisando los modelos clásicos tales como el modelo Integrate-and-fire. En particular nos centraremos en el estudio de la ecuación no-lineal llamada Elpased Time (ET), donde las neuronas son descritas por el tiempo transcurrido desde la última descarga. Para la ecuación ET, estudiaremos existencia de soluciones y el comportamiento asintótico para interconexiones débiles aplicando las técnicas estudiadas anteriormente.

Docente

Nicolás Torres Escorza

Instituto de Matemáticas
Universidad de Granada, España, y Centro de Modelamiento Matemático Universidad de Chile, Chile

Doctor en Matemáticas de Sorbonne Université, Francia. Sus intereses de investigación son las ecuaciones diferenciales parciales aplicadas a la dinámica de poblaciones en biología y la neurociencia matemática. Actualmente trabaja en proyectos relacionados con la enfermedad de Alzheimer y la dinámica de neuronas en espiga.