Cursos

Introducción a los Elementos Finitos

Profesora:
Dra. Verónica Anaya D. (Universidad del Bío-Bío)

Descripción:
En mecánica del medio continuo aparecen muchos modelos matemáticos escritos en forma de ecuaciones diferenciales parciales en términos de variables físicamente relevantes (desplazamientos y esfuerzos de estructuras, velocidad y presión de un fluido, etc.), las cuales necesitan ser aproximadas. El método de elementos finitos (MEF), el cual fué introducido por ingenieros (∼1960) es uno de los métodos numéricos más importantes que permite aproximar las soluciones de tales problemas. El MEF se basa fuertemente en lo que se conoce como formulación variacional o formulación débil del problema de valores de contorno y aproxima la solución del problema por funciones polinomiales a trozos sobre una triangulación del dominio.

Contenido:

  • Resumen de Ecuaciones Diferenciales Parciales.
  • Conceptos de Análisis Funcional.
  • Existencia y Unicidad de formulaciones variacionales 1-D.
  • Estimaciones de error.
  • Análisis continuo y discreto en 2-D.

Bibliografía:

  • S.C. Brenner and R.L. Scott The Mathematical Theory of Finite Element Methods., Springer, New York, (2008).
  • P.G. Ciarlet Basic error estimates for elliptic problems., in Handbook of Numerical Analy- sis, pp. 17–351, Vol. II, P.G. Ciarlet and J.L. Lions, eds., North-Holland, Amsterdam, (1991)
  • G.N. Gatica Introducción al Análisis Funcional. Teoría y Aplicaciones., Editorial Reverte, Barcelona, (2014).
  • S. Salsa Partial Differential Equations in Action. From Modelling to Theory., Springer-Verlag, Milan, (2008).
  • A. Quarteroni Numerical Models for Differential Problems. Modeling, Simulation and Applications., Springer, Milan, (2009).

 

Análisis Funcional aplicado al problema de Navier-Stokes estacionario

Profesora:
Dra. Jessika Camaño (Universidad Católica de la Santísima Concepción)

Descripción:
Este cursillo tiene por objetivo aplicar algunos resultados de Análisis Funcional para el estudio del Problema de Navier-Stokes. Comenzaremos presentando la ecuación de Navier-Stokes estacionaria y su formulación débil asociada. Posteriormente, presentaremos algunos resultados clásicos de Análisis Funcional que nos permiten asegurar existencia y unicidad de solución de problemas variacionales y aplicaremos estos últimos para demostrar existencia y unicidad de solución de la formulación débil del Problema de Navier-Stokes.

Contenido:

  • Problema modelo: La Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.
  • Teorema de Transformación de Riesz.
  • Teorema de Hahn-Banach (THB).
  • Algo de teoría de operadores.
  • Existencia y unicidad del problema de Navier-Stokes estacionario.

Bibliografía:

  • Brezis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext., Springer, New York, 2011.
  • Gatica, Gabriel N. Introducción al Análisis Funcional. Teoría y Aplicaciones., Editorial Reverte, Barcelona Bogota Buenos Aires Caracas Mexico, 2014.
  • E. Schechter, Martin. Principles of functional analysis. Student edition., Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1973.

 

Solvability of Mixed Variational Formulations in Hilbert and Banach Spaces.

Profesor:
Dr. Gabriel Gatica (Universidad de Concepción)

Descripción:
In this short course we introduce mixed variational formulations of the so-called Babuska-Brezzi type, and provide necessary and sufficient conditions for their well-posedness. We separate the analysis into the Hilbert and Banach spaces cases, and along the respective proofs diverse tools from linear functional analysis are employed. The latter include, among others, the concepts of adjoint operator, orthogonal projection, orthogonal decomposition, and reflexivity, as well as classical results such as the Riesz representation theorem, the characterization of operators with closed range, the bounded inverse theorem, the open mapping theorem, and the Hahn-Banach theorem. The theoretical results are applied to two simple examples, one for each case.

Contenido:

  • Ejemplos de motivacion.
  • Teoria de Babuska-Brezzi en espacios de Hilbert.
  • Teoria de Babuska-Brezzi en espacios de Banach .

Bibliografía:

  • G.N. Gatica, A Simple Introduction to the Mixed Finite Element Method. Theory and Applications. SpringerBriefs in Mathematics. Springer, Cham, 2014.
  • A. Ern and J.-L Guermond, Theory and Practice of Finite Elements. Applied Mathematical Sciences, 159. Springer-Verlag, New York, 2004.

 

Introducción a Leyes de Conservación: Teoría y aproximación numérica

Profesor:
Dr. Luis M. Villada (Universidad del Bío-Bío)

Descripción:
Las leyes de conservación(por ejemplo conservación de masa, momento y energía ) en forma de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas de primer orden surgen en una amplia variedad de modelos que describen fenómenos de transporte. En este curso desarrollamos, analizamos y aplicamos métodos numéricos adecuados para resolver sistemas de leyes de conservación. Comenzamos describiendo las soluciones clásicas de las leyes de conservación escalar a partir del método de las características, para luego discutir su capacidad de generar soluciones no suaves (choques) a partir de condiciones iniciales suaves, lo que conduce a la introducción de soluciones débiles, condiciones de salto y condiciones de entropía para así seleccionar la única solución físicamente relevante entre posiblemente diversas soluciones débiles. Luego se introducen métodos numéricos de volúmenes finitos para aproximar la solución de estas ecuaciones, e introducimos los conceptos de esquemas conservativo, monótonos, flujos numéricos(Godunov, Lax-Friedrichs), y se estudian las propiedades adecuadas para demostrar la convergencia de estos esquemas a la solución débil de la ley de conservación y a la solución de entropía. Se revisarán algunos resultados de estabilidad para demostrar la unicidad de la solución respecto a las condiciones iniciales. Por medio de la resolución de ejemplos prácticos, los estudiantes podrán encontrar la condición de entropía de una ley de conservación escalar, y mediante la implementación de un esquema de volumen finito conservativo, podrán aproximar dicha solución y comparar los resultados. Se ilustran ejemplos escalares: fenómenos de sedimentación, tráfico vehicular, el flujo de dos fases en medios porosos y ejemplos de sistemas de leyes de conservación: problema de aguas superficiales y dinámica de gases.

Contenido:

  • Leyes de conservación: motivación y ejemplos escalares.
  • La ley de conservación escalar: método de características, choques, soluciones débiles y solución de entropía.
  • Métodos de Volúmenes Finitos: Conservativos, monótonos, flujos numéricos, propiedad TVD, desigualdad discreta de entropía, convergencia a solución de entropía.
  • Estabilidad y Unicidad de la solución.
  • Ejemplos de Sistema de Leyes de Conservación.

Bibliografía:

  • Bressan, Alberto. yperbolic systems of conservation laws. The one-dimensional Cauchy problem. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 20. Oxford University Press, Oxford, 2000.
  • Bürger, R. Introducción a Leyes de Conservación.. Cód. 408672; nivel doctorado). Manuscrito, 265pp. Link
  • LeVeque, Randall J. Numerical methods for conservation laws. Second edition. Lectures in Mathematics ETH Zurich. Birkhäuser Verlag, Basel, 1992.
  • Serre, D. Systems of Conservation Laws 1: Hyperbolicity, Entropies, Shock waves. Cambridge University Press, (1992).