RESUMEN: Photoacoustic tomography is a biomedical imaging modality whose goal is to reconstruct a map of absorption in biological tissue in order to identify different structures, and in particular to determine whether they are healthy or not. This modality has multiple applications, including tumor detection, breast cancer diagnosis, imaging of blood vessel networks, and measuring blood oxygenation. In this talk, we will focus on acoustic inversion—one of the steps of photoacoustic tomography—in the case where the speed of sound is an unknown piecewise constant function. Mathematically, our problem consists of simultaneously determining a coefficient and an initial datum of a Cauchy problem associated with the wave equation, from measurements of the solution on a surface. This talk is based on joint works with Gunther Uhlmann and Hongyu Liu.

LUGAR: Sala Multiuso 1, Edificio Felipe Villanueva, Facultad de Matemática, Campus San Joaquín, Universidad Católica de Chile

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RESUMEN: We will discuss some recent progress on the anisotropic Calderón
problem for the fractional Laplacian

LUGAR: Auditorio Ninoslav Bralic, Facultad de Matemática, Campus San Joaquín, Universidad Católica de Chile

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RESUMEN: On compact Riemannian manifolds with boundary, the (anisotropic) Calderón’s problem asks to what extent the Dirichlet-to-Neumann map associated with the Laplace—Beltrami equation determines the metric (up to a natural obstruction). In this talk, I will discuss a similar problem, known as inverse scattering for asymptotically hyperbolic manifolds (i.e., manifolds that, outside a compact region, behave like the hyperbolic space): fixed an «energy level», and  given the analog of the Neumann data for solutions to certain 0-elliptic PDE depending on the fixed energy level, determine the metric of the manifold. I will show that, under some geometric conditions, one can determine the Taylor series of the metric at the boundary. The proof is based on the relation between this problem and the Calderón problem for the Conformal Laplacian.

LUGAR: Sala de Seminarios Felipe Alvarez Daziano, 5to PISO, Departamento de Ingeniería Matemática, FCFM Universidad de Chile.

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RESUMEN: The Radiative Transport Equation (RTE) arises in applications in tomography based on photon propagation. Whereas it has a direct solution for non-scattering media
it is complicated to solve for cases involving significant scattering. In these cases, Monte Carlo (MC) methods are a widely applicable and accurate class of modelling techniques that converge to the deterministic solution in the limit of an infinite number simulated photons.
Classical methods for solving the inverse problem that involve a non-linear optimisation approach can be combined with advances in stochastic subsamplings strategies that are in part inspired by machine learning applications. In such approaches the forward problem is considered deterministic and the stochasticity involves splitting of an objective function into sub functions that approach the fully sampled problem in an expectation sense.
In this work we consider where the forward problem is also solved stochastically, by a Monte Carlo simulation of photon propagation. By adjusting the batch size in the forward and inverse problems together, we can achieve better performance than if subsampling is performed separately.

Joint work with : Z Kereta, J Kangasniemi, N Hänninen, A Pulkkinen, T Tarvainen

LUGAR: Auditorio San Agustín,  Escuela de Ingeniería, Campus San Joaquín, Universidad Católica de Chile

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RESUMEN: La costa del Pacífico es una zona con alta actividad sísmica. En los últimos 100 años, Chile ha sufrido 7 terremotos de magnitud 8.0 o superior, causando graves daños a diversas edificaciones, cambiando la geografía local y causando la muerte de miles de personas. De todos ellos, los más destructivos han sido sismos de subducción (Valdivia 1960, Constitución 2010).

Un sismo de subducción puede ser modelado como la interacción de dos cuerpos donde uno se desliza con respecto al otro sobre una superficie, o bien, a partir de un único dominio dividido en dos subdominios con una condición de interfaz dada por un salto de discontinuidad en la dirección tangencial (conocido como salto cosísmico). Si bien el instrumental real permite medir con gran precisión los desplazamientos y las tracciones de las placas tectónicas en la superficie terrestre, la reconstrucción de los desplazamientos dentro de las placas no es precisa debido a la falta de información sobre el salto cosísmico y a la ausencia de métodos numéricos más robustos para geometrías complicadas.

En este seminario se presentará el problema inverso de la recuperación del salto cosísmico a partir de mediciones de frontera de los desplazamientos y tracciones sujetas a la ecuación de elasticidad lineal, obteniendo un resultado de estabilidad condicional, junto con diversas técnicas numéricas basadas en elementos finitos y problemas de control óptimo, donde el control es el salto cosísmico. De esta forma, es posible simular escenarios realistas de interés para la comunidad geofísica con gran precisión numérica y bajo costo computacional.

LUGAR: Universidad Técnica Federico Santa María, campus Santiago San Joaquín. (Sala por confirmar).

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RESUMEN: The inverse elasticity problem can be simply stated as: given a deformed configuration and the forces that act on it, find an initial stress-free configuration such that when the given forces are applied to it, one recovers the given deformed configuration. Surprisingly, this problem can be framed as a (direct) elasticity one, whose mathematical properties are inherited from the original direct problem if the underlying material is sufficiently regular.

In this seminar, I will review this problem and its main mathematical properties. After this brief introduction, I will show some artifacts that appear when solving this problem, such as self-intersections and geometrically incompatible solutions. The talk will finish with an extension of this system to poroelastic materials, where I will show that the strong form of the equations does not allow for a weak formulation, and this requires some special treatment. All models will be shown to work in realistic heart geometries.

LUGAR: Auditorio del Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación, Universidad de Santiago de Chile

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RESUMEN: En esta presentación, se abordará un problema inverso para una ecuación parabólica semi-discreta, donde el objetivo es identificar el término en el lado derecho de la ecuación (la fuente) a partir de mediciones de la solución en un tiempo intermedio y dentro de un subdominio espacial. A partir de este resultado, se puede establecer una estimación de estabilidad para la función potencial cuando esta depende únicamente del espacio.

Se presentará una nueva estimación de Carleman en el contexto semi-discreto, cuya dependencia del parámetro está determinada por el tamaño de la malla. Además, se analizará cómo los términos discretos que surgen en la desigualdad de Carleman introducen un término de error asociado a la condición inicial de la solución en el sistema semi-discreto.

LUGAR: Auditorio Ninoslav Bralic, Facultad de Matemática, Campus San Joaquín, Universidad Católica de Chile

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EXPOSITOR: Eric Bonnetier, Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes, France.

IDIOMA: Inglés

LUGAR: Sala de Seminarios Felipe Álvarez, Departamento de Ingeniería Matemática, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile.

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EXPOSITOR: Matías Courdurier,  Facultad de Matemáticas, Universidad Católica de Chile.

IDIOMA: Español

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EXPOSITOR: Sylvain Ervedoza,  Institut de Mathématiques de Bordeaux, Université de Bordeaux and CNRS

IDIOMA: English

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